世界杯与数学 美丽的足球世界(之二)

皇马俱乐部 2019-08-13 06:41:15
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世界杯与数学 美丽的足球世界(之二)

  经典黑白足球中12个黑色正五边形的地位都是一样的,每三个正五边形处于一个正三角形的顶点处(这是当然的,因为足球原形是截角二十面体,是对正二十面体进行截角,而正二十面体正是由20个正三角形面围成的)。所以,”团队之星“也自然具有这种性质。如下图所示。

  上图所示为2018年俄罗斯第21届世界杯足球比赛指定用球。2017年11月9日,国际足联与阿迪达斯共同发布了本届赛事指定比赛用球为 Telstar 18,即“电视之星”,即上图所示。本届比赛两天后就要在俄罗斯拉开帷幕。借此时机,我也来凑凑热闹,介绍一下世界杯足球的设计与数学的关系。非常有趣。

  我在本文中,是把2006年德国世界杯用球归功于数学上阿基米德立体中的“截角二十面体”,但我只是从外观上进行的研究。如果从皮革的数量上来研究的话,显然,“团队之星”(14块)与”电视之星“(32块)是完全不同的。从皮革数量以及每块皮革在足球上位置来看,“团队之星”应该是与阿基米德立体中的”截角八面体“对应的。观察下图,是不是可以看出来?从位置上来说,6个”脚印“分别对应于下图中浅绿色的面,而另外8块白色皮革对应于8个深绿色的正六边形面。

  观察上面两种足球。右图是经典的现代足球,它一共有12个黑色正五边形。左图每个脚印(我觉得”8“字和无穷”∞“数学味最浓,但我下文中还是用”脚印“来称呼这个形状吧,因为足球么,是用脚踢的),正好相当于覆盖“了右图中的两个黑色正五边形及中间的缝隙。六个“脚印”正好就覆盖了12个正五边形。如下图所示。

  我们知道,1970年启用的黑白相间的足球,是由12块正五边形黑色皮革和20块正六边形白色皮革缝制而成的,共32块。而上图中的“团队之星”,没有了正五边形也没有了正六边形。那么,上面的图案是怎么得来的呢?我们仔细想一下,这些看上去像数字“8”,脚印”,“鞋垫”,“游泳镜”,或无穷符号“∞”的金色图案是怎么得来的呢?它们与黑白足球有没有什么联系吗?好的,那我们把两种足球放在一起比较一下吧。如下图所示。

  那篇文章给出了由12个黑色正五边形和20个白色正六边形构成的现代足球的数学原形——截角二十面体,它是十三种阿基米德立体中的一种,您可以链接我的这篇文章:阿基米德立体(系列之一)进行阅读。

  12这个数量与现代足球上黑色正五边形面的数量12是相等的。所以,两种足球有相似之处。

  我于2016年1月30日曾发送过一篇有关足球的文章,介绍了黑白相间的现代足球是怎么设计出来的。我猜想,阿迪达斯(adidas)公司一定是聘请了懂数学的高人或团队来进行设计的。就是下面这个链接,可以点它,看后,再返回到这里继续读这篇文章。

  “团队之星”的这6个“脚印”中,只要是相邻的“脚印”,就是互相垂直的,而不相邻的“脚印”就互相平行。6个“脚印”,每两个为一组,可以分成三组,每组中的两个“脚印”方向一致,不相邻,位于球面相对的两侧,是镜面对称的。如果把每个“脚印”简化成一个线段,那么,每组的两条线段位于同一个平面上,互相平行,且关于某个平面对称。这样的话,三组“脚印”可以确定三个平面,这三个平面两两互相垂直。正像空间直角坐标系中的三个坐标平面:xy平面,yz平面,zx平面。如下图所示。

  它是由四个大写字母“F”拼成的中心对称图形。F表示 “ Football ”。你在上图中找到这四个“F”了吗?下面我称这个图形为“4F”图形。

  在黑白足球”电视之星“中,与每个正五边形相邻的正五边形有五个,这六个正五边形一起,总是可以处于足球的某半球上。下图右图中,1号正五边形周围有2,3,4,5,6号五个正五边形。若把1号五边形比作地球北极的线号六个正五边形就一定都位于北半球。而另外六个正五边形就一定位于南半球。

  “团队之星”足球一共有八块这种形状(其中四块一样,另外四块是镜像对称的)的皮革。加上六块“脚印”,一共是14块皮革。这个块数已经比黑白相间的那种足球所用皮革块数(32块)少了18块了。能够设计得让块数尽量少,是一种更高的设计水平,也要求更高的制作工艺。并且,上面所说的每块皮革,在制造时已经制成曲面了,而不是平面的。所以,”团队之星“更圆。

  这六个黑色正五边形中,哪两个可以连成“脚印”,哪两个不行,是有规律的,而不是任意的。一定是有某两个互相垂直的“脚印”(比如上图中是红色和绿色)各“脚踩”两个黑色正五边形,这样就占据了四个黑色正五边形(上图中1号和2号;4号和5号),还剩下两个黑色正五边形(3号和6号),它们分别是另外两个不同方向的“脚印”(上图中是蓝色)的一半。这里,1号与2号连成了一个“脚印”,那么,跟着的一定是4号与5号连成“脚印”,不可能是3号和4号或者5号和6号连成“脚印”。上图右图中,也可以是1号与6号连成一个“脚印”,那么,必然是3号和4号连成一个“脚印”。你随便在“团队之星”足球上找到位于半球内”脚印“,那么它们之间的关系一定都是这样的。

  两年前,我写过一篇文章,介绍了世界杯比赛用球外观的变化,分析了2006年德国世界杯用球”团队之星“外观的数学结构。两年多过去了,有几千位新朋友关注了我的这个公众号,这些新朋友一定没有读到过那篇文章,所以,我想,借此2018年世界杯即将开赛之际,再在这里呈献给大家。然后,本篇内容的最后,我再来讲一讲本次世界杯比赛用球的数学结构。

  这个足球图案是1970年墨西哥世界杯启用的,它由阿迪达斯公司根据世界杯组委会的委托而精心设计的。这个足球取名为“电视之星”(TELSTAR),是因为那时第一次用电视进行转播,而那时的电视机是黑白的,那么这个黑白相间的足球就非常适合电视观看。后来历届世界杯专用足球,很多都是在这个基础上演变而来的。而今年的第21届世界杯比赛用球延用了”电视之星“之名,我猜想,可能是因为本届世界杯用球与这个最常用的现代足球,在外观颜色上很相似,比如都是黑白相间,都有12个黑色块。但其实深入研究,就会发现,它们的外形结构从数学上考虑是有很大不同的。

  下图中,我们给足球增加了空间直角坐标系,坐标原点位于球心。那么,六个“脚印”的位置一目了然。我们还画出了球面与坐标面的部分交线(黄色的)。这样我们就得到了球面在第一卦限内的那部分(是个球面三角形)。

  每块“4F”图形皮革上都有四小部分被涂以黑色(我没有研究清楚是什么意思),它们都是直角梯形的样子,其中有两个的斜腰是锯齿形的。在把六块“4F”皮革拼成球面后,相邻的两块在相邻处各贡献出一个梯形互相交叉,看上去像是一块黑色的六边形。所以,它看上去像是一共有12个黑色块。这12个黑色六边形就好像“跨”在正方体12条棱上。上图中是正对着我们的4个黑色块,图中还可以隐约看到另外4个黑色块。球的背面应该还有4个。一共是12个。

  本公众号内容均由邵勇本人独创,可以转发,但转载则需获得邵勇本人的授权。每周推送两到三篇内容上有分量的数学文章,但在行文上力争做到深入浅出。几分钟便可读完,轻松学数学。

  梅西必须是要踢的!你看下图中,梅西手里拿着足球,他一定非常喜欢足球。谁会想到,这位伟大的球星,小时候曾患有侏儒症。西班牙的球队请他去踢球,当时有很多人反对,但后来事实证明,那些坚持聘用他的人是对的!

  本期内容有些多,涉及很多数学内容。本期中有关2006年世界杯足球的“脚印“与黑白足球上的黑色正五边形之间的关系,是我本人观察所得,是我本人的独创。我是在观察各种足球图片想像出来的。我后来特意从网上购买了一个黑白足球,对我的观察结果与上面所做的研究进行了验证,是对的。下图就我购买的足球。

  回到数学。那么,2006年世界杯用球,与数学到底有什么关系呢?我做了一些研究,分享给大家。

  不打算介绍每一届世界杯专用足球的样子了,网上都可以找得到。只给出历届世界杯用球的汇总(下图),可以明显看出足球在外观方面一直在不断改进。毕竟是世界体育运动中第一大球类运动。另外,各种杯赛,比如欧洲杯、美洲杯,亚洲杯,非洲杯等大的足球赛事,也用过很多不同外观的足球。

  这六个脚印本身既是中心对称图形,又是轴对称图形。它们在“团队之星”上的地位是等价的。也就是说,“团队之星”足球是空间对称的。我们可以让足球绕着球心旋转,那么,某个“脚印”所在的位置处,其他五个“脚印”也可以占据,这样形成一个轮换,但看上去的效果就好像没有转动过。这就是一种很完美的对称(涉及到对称群的知识,本公众号中也有介绍)。“团队之星”这种完美的对称性当然是来自“电视之星”的完美对称性。而”电视之星“的完美对称性则来自于13种阿基米德立体之一的“截角二十面体”。把数学上阿基米德立体中的“截角二十面体”应用于足球,真的一件很伟大的事情。四年一届的世界杯是全球球迷的盛事,足球的样子总不能一成不变,而根据“截角二十面体”设计出来的黑白相间足球,使得足球外观的设计可以产生极为丰富的变化。数学有很大的贡献!

  我们知道,正方体有六个正方形面。两两相对,共三对。再来看一看这个新足球的球面。上图中红色边缘的“4F”图形正对着我们,足球的左边侧面和右边侧面各有一个这样的图形,上、下底面也各有一个,它的背面还有一个。一共六个。这六个的位置与正方体的六个面暗合。所以说,本届世界杯用球外观的数学原形就是简单的正方体。

  下面先给出几张图片,先让您欣赏一下美丽丰富的足球世界。第一个是2006年德国世界杯专用足球:“团队之星”。我猜想,它寓意着“德国战车”严谨的团队精神,与德国的哲学和交响乐一脉相承。如下图所示。

  这个球面三角形中,都出现了三个“脚印”的一部分(四分之一),我们不管它们,只考虑去掉这三部分后剩余的部分。这部分是一整块皮革制成(当然留出缝线或粘胶用的边是应该的)。如下图所示。